ビルゲイツの面接試験―株取引編

とりあえず1問目だけ。
Life is beautiful: ビルゲイツの面接試験―株取引編
パスカルの三角形を書いて考えてたらいい解答を思いついた。

                1
            1       1
        1       2       1
    1       3       3       1

n段目にいる時に生還できる確率を と置くと はそれぞれ , と書ける。
を代入して消すと、

で、はど真ん中なのでだろう。つまり解けて。

2問目の証明はうまく出来ない。

追記

元ネタの404 Error - FC2ブログ のコメントに同じ解答がありました。残念。

2006-08-18 追記 続いて2問目

1問目の 404 Error - FC2ブログ のコメント欄に以下の考察がありました。

上に登るのも、下に降りるのも、確率は等しく同じであるのだから、
最上段への到達可能性は純粋にその距離の短さに比例する。

確かにそう。でもこれって自明と考えていいんだろうか？特に2問目の証明ってこれを証明することと同値じゃないのかな？…とはるか昔高校生の時に味わったなつかしい感覚がよみがえる。ちなみにこれを使うと中学生程度の数学で証明できるといえばできる。

N は QP を a : b に分けるところに位置すると考えよう。

 
  Q               N        P (ドル)
  --------------------------
  <---------------><------->
          a        :  b      ( a + b = 1)

a+b=1としても一般性を失わない。すると先ほどのコメントの考察よりそれがそのまま確率となり

 株の売却金額 | Qドル | Pドル |
 確率         |  b    |   a   |

つまり、売却の期待値 = b×Q + a×P。
ところで a : b = (N - Q) : (P - N)なので b(N-Q)=a(P-N)、つまり b×Q + a×P = N(a+b) = N
よって売却の期待値 = N。